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My Brain is Open.

思いついたことを適当に列列と

数学勉強会:2017-02-09 集合と命題

ただいま社内でこちらの本を使って数学勉強会を開催中。

論理と集合から始める数学の基礎

論理と集合から始める数学の基礎

振り返りを兼ねて、内容を記録しておきます。 ものすごく端折って書くので、きちんと勉強する方は上記の書籍や自分がわかりやすい書籍を購入するなどして学ぶことをオススメします。

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ユークリッド互除法と連分数と円周率の有理数近似

ユークリッド互除法

ユークリッドの互除法と言うのはご存知でしょうか。 2つの数の最大公約数を求めるアルゴリズムですね。例えば、390と91ではこうなります。

\[\begin{aligned} 390 &= 91 \times 4 + 26 \\ 91 &= 26 \times 3 + 13 \\ 26 &= 13 \times 2 + 0 \end{aligned}\]

商と余りを計算して、除数と余りでもう一度互除法に…と順番に繰り返していくと最終的に最大公約数が13であるとわかります。

連分数表示

これらの等式の両辺を除数で割って、次のように変形してみましょう。

\[\begin{aligned} \frac{390}{91} &= 4 + \frac{26}{91} \\ \frac{91}{26} &= 3 + \frac{13}{26} \\ \frac{26}{13} &= 2 \end{aligned}\]

更にこれを逆数に。

\[\begin{aligned} \frac{91}{390} &= \frac{1}{4 + \frac{26}{91}} \\ \frac{26}{91} &= \frac{1}{3 + \frac{13}{26}} \\ \frac{13}{26} &= \frac{1}{2} \end{aligned}\]

左辺と同じものがあるので代入します。(ついでに最大公約数も分かっているので、左辺を約分します。)

\[ \frac{7}{30} = \frac{91}{390} = \frac{1}{4 + \frac{1}{3 + \frac{1}{2}}} \]

これが連分数表示です。$\frac{1}{4+}\frac{1}{3+}\frac{1}{2}$ と書いたり、$[0;4,3,2]$とすることもあります。

連分数に現れてくる数値は、ユークリッド互除法の商の順番と一致していますね。

円周率でユークリッド互除法

ユークリッド互除法を円周率$\pi$で実験してみると次のようになります。$\pi$は割り切れないのでいつまでも続きます。

\[\begin{aligned} \pi &= 1 \times 3 + (\pi - 3) \\ 1 &= (\pi - 3) \times 7 + (22 - 7\pi) \\ (\pi - 3) &= (22 - 7\pi) \times 15 + (106\pi - 333) \\ (22 - 7\pi) &= (106\pi - 333) \times 1 + (355 - 113\pi) \\ &\vdots \end{aligned}\]

これを使って先の連分数表示をすることができます。

\[ \pi = [3;7,15,1,\dots] \]

この無限連分数ですが、途中で打ち切れば当然近似値が得られます。有限の連分数は順に計算すれば必ず有理数になるので、以下のように計算できます。

\[\begin{aligned} \pi &\approx [3;7] = \frac{22}{7} = 3.1428571428\dots \\ \pi &\approx [3;7,15] = \frac{333}{106} = 3.1415094339\dots \\ \pi &\approx [3;7,15,1] = \frac{355}{113} = 3.1415929203\dots \\ & \vdots \end{aligned}\]

このようにして、小数以下6桁まで一致するシンプルな近似値$\frac{355}{113}$が得られます。

はてなブログにMathJaxを使って数式を埋め込む

MathJaxを使って次のような数式をブログに記述できます。

$$\phi = 1+\frac{1}{1+}\frac{1}{1+}\ldots$$

インストール

Using the MathJax CDNに書かれている内容と同じです。

[設定] > [詳細設定タブ] > [headに要素を追加] に以下を追加します。

<script type="text/javascript"
  src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML">
</script>

これによって、MathJaxがロードされ数式を表示可能になります。

記事を書く

ここからは基本的に LaTeX の記法を使います。 上記の数式であればこうなります。

$$\phi = 1+\frac{1}{1+}\frac{1}{1+}\ldots$$

特別な記法でラップする必要もなく、こんな感じでそのまま記事に書くだけです。